Đề thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

 UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 -2019
 MÔN : TOÁN
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) LỚP : 9
 Thời gian : 150 phút 
 HƯỚNG DẪN CHẤM
 Câu 1: (5 điểm)
 a) Ta có: A= a3 – 7a + 12 = a3 – a – 6a + 12 (0,5đ)
 = a(a2 – 1) – 6(a – 2) (0,25đ)
 = a(a – 1)(a + 1) – 6(a – 2) (0,25đ)
 Vì a(a – 1)(a + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6. (0,5đ)
 Mặt khác 6(a – 2)6 (0,25đ)
 Vậy A  6 với mọi số a Z. (0,25đ)
 b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3 n N (0,25đ)
 Ta có: n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 1 n 2 (0,5đ)
 = n2 3n n2 3n 2 1 (0,5đ)
 Đặt n2 3n t (0,5đ)
 Thì n2 3n n2 3n 2 1= t t 2 1 (0,25đ)
 = t 2 2t 1 t 1 2 (0,25đ)
 2
 = n2 3n 1 (0,25đ)
 Vì n N nên n2 + 3n + 1 N (0,25đ)
 Vậy n n 1 n 2 n 3 1 luôn là một số chính phương (0,25đ)
 Câu 2: ( 5 điểm )
 a) Giải phương trình
 3x2 6x 7 + 5x2 10x 14 = 4 – 2x – x2
 Ta có: 3x2 6x 6 1 + 5x2 10x 5 9 = 5 – (x2+2x+1) (0,5đ)
 3(x 1)2 4 + 5(x 1)2 9 = 5 – (x+1)2 (0,25đ)
 VT = 3(x 1)2 4 + 5(x 1)2 9 5 (0,25đ)
 Đẳng thức xảy ra khi x = –1
 VP = 5 – (x+1)2 5 (0,25đ)
 Đẳng thức xảy ra khi x = –1 (0,25đ)
 VT=VP x = –1 (0,25đ)
 Vậy: x = –1 là nghiệm của phương trình. (0,25đ) Câu 4: ( 5 điểm ) Vẽ hình đúng (0,25đ)
 A
 M
 H I
 O N
 C
 B K
 1
 a) Ta có: K· HI K· OI ( hệ quả của góc nội tiếp) (0,25đ)
 2
 K· OI K· CI 1800 ( Tứ giác OICK nội tiếp đường tròn) (0,25đ)
 Mà ABC có B· AC ·ABC ·ACB 1800 (0,25đ)
 Do đó K· OI B· AC ·ABC (vì K· CT ·ACB) (0,25đ)
 1
 Vậy K· HI B· AC ·ABC (0,25đ)
 2 
 b) Ta có: BC = BM + CN (gt) (0,25đ)
Suy ra BC = BH + HM + CI – IN (0,25đ)
 = BK + HM + CI - IN (0,25đ)
 = BC +HM – IN ( vì CI = CK) (0,25đ)
 Suy ra HM = IN (0,25đ)
Xét HOM và ION có: OH = OI , HM = IN , OHˆM OIˆN 900 (0,25đ)
Do đó HOM = ION ( c-g-c) (0,25đ)
 Nên OM = ON Suy ra MON cân tại O (0,25đ)
 c) Ta có : MON cân tại O , HOI cân tại O, MOˆN HOˆI (0,25đ)
 Do đó OMN đồng dạng OHI (g- g) (0,25đ)
 MN OM
 Suy ra mà OM OH (OH  HM ) (0,25đ)
 HI OH
 MN
 Do đó 1 MN HI (0,25đ)
 HI
 Dấu " = ” xảy ra H  M , N  I (0,25đ)
Vậy độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng HI H  M , N  I (0,25đ).
 - - - HẾT - - -
Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó.