Đề thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

 UBND HUYỆN HỊA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 -2018
 MƠN : TỐN
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) LỚP : 9
 Thời gian : 150 phút 
 HƯỚNG DẪN CHẤM
 Câu 1:( 5,0 điểm)
 a) (2,5 điểm)
 Ta cĩ
 n3 2013n2 2n n3 3n2 2n 2010n2 (0,5đ)
 =n n2 3n 2 2010n2 (0,5đ)
 =n n+1 n 2 2010n2 (0,5đ)
 n n+1 n 2 6 (0,25đ)
 Vì: 
 2
 2010n 6 (0,25đ)
 Nên : n n+1 n 2 2010n2 6 (0,25đ)
 Vậy: n3 2013n2 2n chia hết cho 6 với mọi số dương n (0,25đ)
 b) ( 2,5 điểm)
 Vì n N, A là số chính phương nên:
 n2 10n 136 k2 (0,25đ)
 2
 n+5 111 k2 (0,25đ)
 2
 k2 n+5 111 3.37 1.111 (0,25đ)
 Do: k+n+5>k-n-5>0 nên ta có hai hệ phương trình
 k n 5 3
 (I) (0,25đ)
 k n 5 37
 k n 5 1
 hoặc(II) (0,25đ)
 k n 5 111 1 1
 0
 x z
 x y z 1 (0,5đ)
 1 1
 0
 y z
 1 1 1 
 Thay vào hệ đã cho ta được (x ; y; z) = ; ; (0,25đ)
 2 2 2 
Câu 3: ( 5 điểm ) 
 2
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x và y z ta cĩ:
 y z 4
 x2 y z x2 y z 2x
 2 . x (0,5đ)
 y z 4 y z 4 2
 y2 z x 2y
 Tương tự ta cĩ: y (0,5đ)
 z x 4 2
 z2 x y 2z
 z (0,5đ)
 x y 4 2
 x2 y2 z2 x y y z z x
 Suy ra: x y z (0,5đ)
 y z z x x y 4
 x2 y2 z2 x y z
 1 (0,25đ)
 y z z x x y 2
 2
 Vậy A đạt GTNN là 1 khi x y z (0,25đ)
 3
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta cĩ:
 a 1 b2 a 1 b2 a 1 b ab
 a 1 a 1 a 1 (0,5đ)
 b2 1 b2 1 2b 2
 a 1 c bc
Tương tự ta cĩ: b 1 (0,5đ)
 c2 1 2
 a 1 a ca
 c 1 (0,5đ)
 a2 1 2
Cộng ba đẩng thức trên vế theo vế ta được:
 2
 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 9 ab bc ca 9 a b c 
 3 = 3 (0,75đ)
b2 1 c2 1 a2 1 2 2 2 2 2 6
 Dấu”=” xảy ra khi a = b = c = 1 (0,25đ) c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích 
của hình vuơng ABCD (2,0đ)
 Đặt DE = x (x > 0) BF = x (0,25đ)
 1
 SACFE = SACF + SAEF = AF AE CB (0,25đ)
 2
 1
 (AB BF)  AE AD 
 2
 1 1
 (a x).DE (a x)x (0,25đ)
 2 2
 1 2 2 2
 SACFE = 3.SABCD (a x)x 3a 6a ax x 0 (0,25đ)
 2
 (2a x)(3a x) 0 (0,25đ)
 Do x > 0; a > 0 3a + x > 0 2a x 0 x = 2a
 A là trung điểm của DE AE = a (0,25đ)
 AN AE
 Vì AE //BC nên 1 (0,25đ)
 NB BC
 N là trung điểm của AB.
 Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD (0,25đ)
 -----Hết-----
 Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đĩ