Chuyên đề Toán 9 - Chủ đề: Căn thức bậc hai

 CHỦ ĐỀ : CĂN THỨC BẬC HAI ( 2,5đ )
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: 
- ĐN căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản căn bậc hai
- Hiểu các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai, vận dụng vào rút gọn biểu 
thức
2. Kỹ năng: 
- Tính, rút gọn được BT số về căn bậc hai đơn giản
- Rút gọn được biểu thức đại số chứa căn thức bậc hai, tính được giá trị của biểu 
thức khi biết giá trị của biến, tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức, so 
sánh biểu thức với 1 số.
II. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. A xácđịnh A 0
 A nêuA 0 
2. A2 A 
 A nêuA 0 
3. A B A . B A 0;B 0 
 A A
4. với A 0, B > 0
 B B
 A BvoiA 0,B 0
5.A2B A B = 
 A BvoiA 0,B 0
 A2 BvoiA 0, B 0
6. A B 
 2
 A BvoiA 0, B 0
 A AB
7. với A.B 0 và B 0
 B B
 A A B
8. với B > 0
 B B
 C C( A  B) 2
9. với A 0 và A B
 A B A B2
 C C( A  B)
10. với A 0, B 0 và A B
 A B A B
- Bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ
- Phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp đặt nhân tử chung; pp dùng hằng 
đẳng thức; pp nhóm các hạng tử; pp tách..
- Cách đưa một số vào trong dấu căn và ngoài dấu căn
 1 - Tìm điều kiện của phân thức, căn thức xác định
- Quy đồng mẫu các phân thức, cộng trừ, nhân, chia các phân thức
- Bài toán tính giá trị của biểu thức
III. BÀI TẬP
 DẠNG 1: TÍNH, RÚT GỌN GIÁ TRỊ BIỂU THỨC SỐ (Câu 1 = 1đ)
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
 2 2
 1) 9 16 15) 3 4
 2) 4 25 16) 810.40
 18
 3) 81 36 17) 3. 12 
 2
 3 49
 4) 18) 16 9 2
 5) 16 . 25 196 : 49
 19) 3. 12
 6) 4 9 .1, 4 4 .2 5
 7) 81 36 : 3 20) 32. 2 8 1
 2
 8) 9 1 16 5 21) 3 1 1
 2
 9) 2. 50 49 22) 2 5 2
 108
 10) 81 25 2 2
 3 23) 2 1 2 1 
 11) 132 122 2 2
 24) 3 2 3 2 
 2 2
 12) 25 24 2 2
 25) 2 1 2 3 3 2
 13) 3 2 9 169
 14) 24 2. 8
Bài 2: Tính giá trị biểu thức: 
1) 2 8 50 7) 125 4 45 3 20 80
 8) 2 72 18 . 2
2) 4 3 27 45 5 
3) 20 3 18 45 72 9)2 20 45 3 18 3 32 50
 10) 8 3 2 10 2 5
4) 2 4 5 8 0 2 4 5 
5) 2 27 48 2 75 11) 12 3 6 3 3 3 18
 2 6) 2 18 8 72 20 - 45 + 3 18 + 72
 12) 
 1 1
 13) .
 3 7 3 7
 DẠNG 2: BIỂU THỨC CÓ BIẾN ( Câu 5 = 1,5đ )
 I. Bài tập bổ sung kiến thức
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 1) x 1 x 1 x 1 
 2) x 4 x 2 x 2 
 3) x 9 x 3 x 3 
 2
 4) x 2 x 1 x 1 
 2
 5) x 2 x 1 x 1 
 2
 6) x 4 x 4 x 2 
 2
 7) x 4 x 4 x 2 
 8) x x x x 1 
 9) x 2 x x x 2 
II: Dạng bài tập : Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan 
Phương pháp giải: 
B1: Phân tích tử và mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử
B2: Rút gọn mỗi phân thức
B3: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong từng dấu ngoặc
B4: Thực hiện phép tính và rút gọn
*Bài tập mẫu:
 x 2 x 4
Bài 1: Cho biểu thức : A ( ) : ,với x 0 và x 4 
 x 2 x 2 x 2
a, Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 9
c) Tìm giá trị của x để A = 
 3 d) Tìm giá trị của x để A = 
 e) Tìm giá trị của x để A = -1
 1
 g) Tìm giá trị của x để A 
 2
 1
 h) Tìm giá trị của x để A 
 3
 Giải:
 a) Với x 0 và x 4 ,ta có: 
 x 2 x 4
A ( ) :
 x 2 x 2 x 2
 x. x 2 2. x 2 x 2
 .
 x 2 x 2 x 4
 x 2 x 2 x 4 x 2
 .
 ( x 2)( x 2) x 4
 x 4 x 2
 .
 x 2 x 2 x 4
 1
 x 2
 1
 Vậy, với x 0 và x 4 thì A = 
 x 2
 1
 b) Khi x = 9, thay x = 9 vào biểu thức A = ta được:
 x 2
 1 1
 A 1
 9 2 3 2
 Vậy, khi x = 9 thì A = 1
 c) Với x 0 và x 4 để A = thì:
 4 1 1
 x 2 3
 1.3 1. x 2 
 3 x 2
 x 2 3 
 x 5
 x 5
 x 25(TMÐK)
Vậy, để A = thì x = 25
d) Với x 0 và x 4 để A = thì:
 1 1
 x 2 5
 5.1 1 . x 2 
 5 x 2 
 x 2 5
 x 3
( Không tồn tại giá trị x )
Vậy không có giá trị nào của x để A = 
Bài 2: Cho biểu thức
 x 2 x 1
 C , với x 0 và x 1 
 x 1 x 1 x 1
 a, Rút gọn biểu thức C.
 b, Tìm giá trị của x để C > 0
 c, Tìm giá trị của x để C 
 d) So sánh C với 1.
Giải:
a) Với x 0 và x 1 ,ta có: 
 5 x 2 x 1
 C 
 x 1 ( x 1)( x 1) x 1
 x( x 1) 2 x 1.( x 1)
 ( x 1)( x 1)
 x x 2 x x 1
 ( x 1)( x 1)
 x 2 x 1
 ( x 1)( x 1)
 ( x 1)2
 ( x 1)( x 1)
 x 1
 x 1
 x 1
Vậy, với x 0 và x 1thì C 
 x 1
b) Với x 0 và x 1 để C > 0 thì
 >0
Vì x 0 , x 1 => 0 => +1 > 0 
Để >0 
 - 1 > 0  > 1  ( TMĐK)
Vậy, để C >0 thì 
c) Với x 0 và x 1 để C thì 
 < 
 < 0
 5. x 1 2. x 1 
 0
 5. x 1 
 5 x 5 2 x 2
 0
 5. x 1 
 < 0
Vì x 0 , x 1 => 0 => +1 > 0 => +1 ) >0 
Để < 0
 6  - 3 < 0 
 < 3 
 < 
 < 
 9
Kết hợp ĐKXĐ x 0 , x 1 => 0 x 
 49
Vậy, với 0 x < thì C 
d) Với x 0 và x 1 để so sánh C với 1 ta xét hiệu C -1, ta có: 
 x 1 x 1 1. x 1 x 1 x 1 2
 C – 1 = 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1
Vì x 0 , x 1 => 0 => +1 > 0 và -2 < 0
 2
 Nên 0
 x 1
 x 1
 1 
 x 1
Vậy, với x 0 , x 1 thì C < 1
*Bài tập vận dụng
 a + a a - a 
Bài 1: Cho P = 1 + 1 - 
 a + 1 a 1 
Với a 0, a 1
 a) Rút gọn P
 2
 b) Tính giá trị của P khi a 3 1 
 7 x x x x 
Bài 2: Cho A = 1- 1+ 
 x 1 x 1 
Với x 0, x 1
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A biết x = 3
c) Tính giá trị của x biết A = 4
Bài 3: Cho biểu thức (Đề thi năm 2017 – 2018 )
 a a a 1
A = :
 a 1 a - a a - 1
Với a 0, a 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
ĐS: A = a 1
 x x x 1
Bài 4. Cho biểu thức P : (Với x 0; x 1 )
 x 1 x x 3
 a) Rút gọn P
 b) Tìm tất cả giá trị của x để P 1
 c) Tính giá trị của P khi x 4 2 3
 2
 Tìm x để P 
 d) 5
Bài 5. Cho biểu thức ( Đề thi năm 2016 – 2017 )
 x x x 1
 P : Với x 0; x 4
 x 2 x x 2 x 4 x 4
 a. Rút gọn P
 b. Tìm tất cả các giá trị của x để P > 0
 8 Về nhà 9ª2 Bài 6. Cho biểu thức: 
 3 1 x 3
 A Với x 0; x 1
 x 1 x 1 x 1
 a. Rút gọn A
 1
 b. Tính giá trị của A khi x 
 4
 c. Tính giá trị của A khi x 3 2 2
 d. Tìm x để A = 2
 e. Tìm x để A = -3
 f. So sánh A với số -1
 1
ĐS: A 
 x 1
Bài 7. Cho biểu thức: 
 2 1 x 2
 A Với x 0; x 1
 x 1 x 1 x 1
 a. Rút gọn A
Về nhà 9ª2 Bài 8. Cho biểu thức ( Đề thi năm 2023 – 2024 )
 1 1 2 x
 P Với x 0; x 1
 x 1 x 1 x 1
 a. Rút gọn P
 1
 b. Tìm các giá trị của x để P 
 3
 2
 c. Tìm các giá trị của x để P 
 5
 1
 d. Tìm các giá trị của x để P 
 2
 2
 e. Tìm các giá trị của x để P 
 3
 9 Về nhà 9ª2 Bài 9. Cho biểu thức: 
 x 6 x 3
 A Với x 0; x 9
 x 3 x 9 x 3
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi x = 16
 1
c. Tìm x để A 
 2
 1
d. Tìm x để A 
 3
 1
e. Tìm x để A 
 5
f. Tìm x để A 2
 2
g.Tìm x để A 
 3
g. So sánh A với số 1
 x 3
ĐS: A 
 x 3
Bài 10. Cho biểu thức: 
 x 4 x 2
 P Với x 0; x 4
 x 2 x 4 x 2
 a. Rút gọn P
Bài 11. Cho biểu thức: 
 x 4 x 2
 P Với x 0; x 4
 x 2 x 4 x 2
 a. Rút gọn P
Bài 12. Cho biểu thức: 
 x 3 6 x
 A Với x 0; x 9
 x 3 x 3 x 9
 a. Rút gọn A
 10 Bài 13. Cho biểu thức ( Đề thi năm 2022 – 2023 )
 1 1 x
 P : Với x 0; x 1
 x 1 x 1 x 1
 a. Rút gọn biểu thức P
 1
 b. P 
 Tìm các giá trị của x để 2
 c. Tìm các giá trị của x để P 2
 2
 d. P 
 Tìm các giá trị của x để 3
 2
 e. P 
 Tìm các giá trị của x để 5
 f.
Bài 14. Cho biểu thức ( Đề thi năm 2020 – 2021 )
 1 1 x 1
 P . Với x 0; x 1
 x 1 x 1 2 x 1
 a. Rut gọn P
 b. Tìm tất cả các giá trị của x để P 1
 1
 c. P 
 Tìm tất cả các giá trị của x để 2
 2
 d. P 
 Tìm tất cả các giá trị của x để 3
 2
 e. P 
 Tìm tất cả các giá trị của x để 5
 1
 f. P 
 Tìm tất cả các giá trị của x để 3
 g.
 h.
 i.
 1 a a 1 a 
Bài 15: Cho P = a . 
 1 a 1 a 
Với a 0, a 1
a) Rút gọn biểu thức ?
b)Tìm a để P = 2
ĐS: P = 1 a
Bài 15: Cho biểu thức 
 11 x 1 1 2 
A = : Với x 0; x 1
 x 1 x x x 1 x 1 
 1) Rút gọn biểu thức A.
 2) Tính giá trị của A khi x = 4
 3) Tính giá trị của A khi x 2 2 3
 x 1
ĐS: A = 
 x
Bài 15: Cho biểu thức 
 1 1 3 
P = 1 Với a 0, a 9
 a 3 a 3 a 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của a để P > 1
 2
c. Tính P khi a = 4
 2
d. So sánh P với số -2 ĐS: P =
 a 3
Bài 16. Cho biểu thức: 
 x x 1 
P= 1 với x 0; x 1
 x 1 x 1 x 
 a. Rút gọn P 
 b. Tính giá trị của P khi x = 9
 c. Tìm x để P = 2
 2
d. Tìm x để P 
 5
 2
e. So sánh P với số -3 ĐS: P =
 x 1
Bài 17. Cho biểu thức: 
 12 x 1 x x 
 D : Với x 0
 x 4 x 4 x 2 x x 2 
 a. Rút gọn D
 b. Tính giá trị của D khi x = 9
 c. So sánh D với số 0
 1
ĐS: D 
 x x 2 
18. Cho biểu thức: 
 3 4 12
 D (x 0;x 4)
 x 2 x 2 x 4
 a, Rút gọn biểu thức D.
 b, Tính giá trị của biểu thức D khi x = 
 c) Tìm giá trị của x để D = 
 d, Tìm giá trị của x để D 
 1
 e)So sánh D với số 
 2
 7
ĐS: D 
 x 2
 2 x 3 x
Bài 19. Cho biểu thức A 1 ( với x 0; x 4 )
 x 2 x 2 x
 a. Rút gọn A
 b. Tìm x để A = -1
 ĐS: x
 x 2
 1 1 x 1
Về nhà 9a1 Bài 20. Cho biểu thức B :
 x x x 1 x 2 x 1
Với x > 0; x 1
 a. Rút gọn B
 b. Tìm x để B = -3
 13 2
 c.Tìm x Tìm x để B 
 3
 d.So sánh B với số 0
 x 1 
 ĐS: 
 x
 x 1 x x x x 
Về nhà 9ª1 Bài 21. Cho biểu thức A với x > 0; 
 2 2 x x 1 x 1 
 x 1
 a. Rút gọn A
 1
 b. Tính giá trị của A khi x 
 4
 2
 c. Tìm x để A 
 5
 d. Tìm x để A > - 6
 e. So sánh A với số 0
 ĐS: 2 x
 1 1 a 1
Bài 22. Cho biểu thức M : với a 0; a 1
 a a a 1 a 2 a 1
 a. Rút gọn M
 b. Tính giá trị của M khi a 4 2 3
 1
 c. Tìm a để M 
 3
 2
 d. Tìm a để M 
 3
 e. So sánh M với 1
 a 1
 ĐS: M 
 a
 14 x 1 1 2 
Bài 23. Cho biểu thức P : với x 0; x 1
 x 1 x x 1 x x 1 
 a. Rút gọn P
 b. Tính giá trị của P khi x 3 2 2
 c. Tìm x để P > 0
 x 1
 ĐS: P 
 x
 1 1 x 2 x 1 
Bài 24. Cho biểu thức A : với x 0; x 1; x 4
 x x 1 x 1 x 2 
 a. Rút gọn A
 1
 b.Tính giá trị của A khi x 
 9
 4
 c.Tìm giá trị của x để A 
 3
 d.Tìm x để A = 0
 x 2
 ĐS: A 
 3 x
 x 2 x 2 x 1
Bài 25. Cho biểu thức Q . với x 0; x 1
 x 2 x 1 x 1 x
 a. Rút gọn Q
 b. Tính giá trị của Q khi x 3 2 2
 1
 c. Tìm x để Q 
 3
 d. Tìm x để Q > - 2
 2
 ĐS: Q 
 x 1
 x 1 1
Bài 26. Cho biểu thức: A : Với x 0; x 1
 x 1 x x x 1
 a. Rút gọn A
 b. Tính giá trị của A khi x 4 2 3
 c. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
 15 1 1 3 x
Bài 27. Cho biểu thức B . (với x 0; x 9 ).
 3 x 3 x x
 a. Rút gọn biểu thức B
 b.Tính giá trị của A khi x 11 6 2
 1
c. Tìm tất cả các giá trị của x để B 
 2
d. Tìm tất cả các giá trị của x để B = - 1
 1 1 a 1
Bài 28. Cho biểu thức: P : với a 0; a 1
 a a a 1 a 2 a 1
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị P khi a = 3 + 2 2
 2
 c) Tìm a để P 
 3
 3
 d) Tìm a để P 
 5
 a 1
 P 
ĐS: a
 1 1 x
Bài 29. Cho biểu thức M x 0 ; x 4 )
 x 2 x 2 4 x (
 a) Rút gọn biểu thức M.
 b) Tính giá trị của M biết x 16
 c) Tìm x để M = -2
 1
 d) Tìm x để M 
 3
 x
 M 
ĐS: x 2
 2 1 1
Bài 30. Cho biểu thức P = : ( x 0 ; x 4 )
 x 4 x 2 x 2
 a) Rút biểu thức P
 1
 b) Tính giá trị của P khi x 
 9
 c) Tìm x để P = 3
 2
 d) Tìm x để P <1
 x
 P 
 ĐS: x 2
 16 x x x 1
Bài 31. Cho biểu thức P = P : 1 Với x 0; x ; x 1 
 x x 2 x 1 x 1 4
 a) Rút biểu thức P
 b) Tìm tất cả các giá trị của x để P 1
 17