Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán 9 - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

 CHUYÊN ĐỀ:
 RÚT GỌN BIỂU THỨC - TOÁN 9
A.Lý thuyết 
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
 1. (A+B)2 = A2 +2AB +B2 
 2. (A – B)2 = A2 –2AB +B2 
 3. A2 –B2 = (A-B )(A+B) 
 4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
 5. (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 
 6. A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
 7. A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)
2. Các công thức biến đổi căn thức:
 1. A có nghĩa khi A≥0
 2. A 2 A
 3. AB A . B ( Với A 0 ; B 0 )
 A A
 4. ( Với A 0 ; B > 0 )
 B B
 5. A2 B A B ( Với B 0 )
 6. A B = A2 B ( Với A 0 ; B 0 )
 A B = - A2 B ( Với A < 0 ; B 0 )
 A 1
 7. AB ( Với AB 0 và B 0 )
 B B
 A A B
 8. ( Với B > 0 )
 B B
 9. C C ( A  B ) 2
 2 (víi A 0, A B )
 A B A B
 C C( A  B)
 10. (víi A 0, B 0, A B)
 A B A B
 3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành 
 nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.
 4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta 
 có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử ( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu 
 phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.
 * Các dạng bài tập:
 - Rút gọn biểu thức số.
 - Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn đế:
 + Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
 + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
 + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
 + Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến.
* Dạng 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I.Các ví dụ:
 + Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
 a/ 20 45 3 18 72 .
 b/ ( 28 2 3 7 ) 7 84 .
 2
 c/ 6 5 120 .
 1 1 3 4 1
 d / 2 2 0 0 :
 2 2 2 5 8
 Giải:
 a/ 20 45 3 18 72 = 22.5 32.5 3 32.2 62.2 
 = 2 5 3 5 9 2 6 2 
 = 2 3 5 (9 6) 2 15 2 5 .
 2 2
 b/ 28 2 3 7 7 84 = 2 .7. 7 2 3. 7 7. 7 2 .21.
 = 2.7 2 21 7 2 21
 = 14 7 2 2 21 21.
 2 2
 c/ 6 5 120 = 6 2 30 5 2 .30
 = 6 5 2 30 2 30 11 .
 1 1 3 4 1 1 2 3 4 1
 d / 2 200 : 2 10 2.2 :
 2 
 2 2 2 5 8 2 2 2 5 8
 1 3 
 2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2
 4 2 
 + Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
 1 1
 a/ A 
 5 3 5 3
 4 2 3
 b/ B 
 6 2
 1 2 2
c/ C 
 2 3 6 3 3
 Giải:
 1 1 5 3 5 3 
 a/ A 
 5 3 5 3 5 3 5 3 
 5 3 5 3 2 3
 3
 5 3 2
 4 2 3
 b/ B 
 6 2
 2 2
 3 2 3 1 3 1 
 2 3 1 2 3 1 
 3 1 3 1 1 2
 2 3 1 2 3 1 2 2
 1 2 2 1 1 2
 c/ C 
 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 
 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 
 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 2 
 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 
 2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3
 1 
 3 3 1 3 1 3 3 1 3 3 3
 + Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
 2
 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9
 b/ 2 3 2 3 6
 4 4
 c/ 2 2 8
 2 5 2 5 
 Giải:
 2
 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9
 BĐVT ta có :
 2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP
 Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
 b/ 2 3 2 3 6
 BĐVT ta có :
 2 2
 2 2 3 2 3
 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 
 2 3 2 3 
 2 2 2
 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3
 6 VP
 2 2 2
 Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
 4 4
 c/ 2 2 8
 2 5 2 5 
 BĐVT ta có :
 4 4 22 22
 2 2 2 2
 2 5 2 5 2 5 2 5 
 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 
 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 4 2 5 4
 8 VP
 5 4
 Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
 + Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
 a/ 2 3 và 10
 b/ 2003 2005 và 2 2004
 c/ 5 3 và 3 5
 Giải:
 a/ 2 3 và 10
 2
 Ta có: 2 3 2 3 2 6 5 2 6 5 24
 2
 Và 10 10 5 5 5 25
 Vì 24 24 5 24 5 25 
 2 2
 Hay 2 3 10 2 3 10
 b/ 2003 2005 và 2 2004
 2
 Ta có: 2003 2005 2003 2005 2 2003.2005
 4008 2 2004 1 2004 1 4008 2 20042 1
 2
 Và 2 2004 4.2004 2.2004 2 20042
 20042 1 20042 20042 1 20042
 Vì 4008 2 20042 1 4008 2 20042
 2 2
 2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004
 c/ 5 3 và 3 5
 Ta có: 5 3 52.3 75
 Và 3 5 32.5 45
 Vì 75 > 45 => 75 45 75 45 5 3 3 5
 *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho 
loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng 
hoặc đưaA về2 hằngA đẳng thức + Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích 
+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, 
đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở 
mẫu 
 II. Bài tập:
 1. Thực hiện phép tính:
 a/ 12 75 27 : 15 ;
 b/ 252 700 1008 448 ;
 c/ 2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2 .
 2. Rút gọn các biểu thức sau:
 2 3 1 3
 a/ ;
 2 2
 b/ 3 2 2 6 4 2;
 2 3 2 3 2 2 3 
 c/ : .
 2 2 
 6 2 3 
 3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
 a/ 3 5 và 2 2 6 ;
 b/ 7 1 và 4 1 ;
 2 21 9 5
 c/ 14 13 và 2 3 11 .
 2 2
 4.Cho A 11 96 và B 
 1 2 3
 Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.
 5. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 2
 a/ 2 2 5 2 3 2 5 20 2 33 ;
 b/ 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10 ;
 1 1 1
 c/ ... 9
 1 2 2 3 99 100 Dạng 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I. Các ví dụ:
 1 1 a 1
 * Ví dụ 1: Cho biểu thức M : với a >0 và a 1
 a a a 1 a 2 a 1
 a/ Rút gọn biểu thức M.
 b/ So sánh giá trị của M với 1.
 Giải: Đkxđ: a >0 và a 1
 1 1 a 1 1 1 a 1
 M :
 a/ : 2
 a a a 1 a 2 a 1 a a 1 a 1 a 1 
 2 2
 1 a a 1 1 a a 1 a 1
 . 
 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a
 a 1 1 1 1
 b/ Ta có M 1 , vì a > 0 => a 0 => 0 nên 1 1
 a a a a
 Vậy M < 1.
 * Ví dụ 2: Cho biểu thức 
 1 x 3 2 x 2 
 P 
 x x 1 x 1 2 2 x 2x x 
 a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
 b/ Rút gọn biểu thức P.
 c/ Tính giá trị của P với x 3 2 2.
 Giải: 
 x 0
 x 1 0
 a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 
 2 x 0
 x 1 2 0
 x 0
 x 1
 x 1 
 x 2
 x 2 
 x 3
 x 3
 b/ Đkxđ : x 1;x 2;x 3
 1 x 3 2 x 2 
 P 
 x x 1 x 1 2 2 x 2 x x 
 x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 
 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x 
 x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2
 .
 x x 1 x 1 2 x 2 x 
 x x 1 x 3 x 1 2 2 x
 .
 x x 1 x 3 x 2 x 
 1 x 2 . 1 2 x
 x x 1 x 1 2 . 
 x x x
 2 2 x
 c/ Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta có:
 x
 2
 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1
 P 2 1
 2 2 1
 2 1 2 1 2 1 
 * Nhận xét về phương pháp giải: 
 Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc 
trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không. 
Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta đã trục căn thức 
ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng.
 * Ví dụ 3: Cho biểu thức 
 2x x 1 3 11x
 A với x 3 
 x 3 3 x x2 9
 a/ Rút gọn biểu thức A.
 b/ Tìm x để A < 2.
 c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
 Giải: 
 a/ Đkxđ: x 3
 2x x 1 3 11x 2x x 1 3 11x
 A 
 x 3 3 x x 2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 
 2x x 3 x 1 x 3 3 11x 2x 2 6x x 2 3x x 3 3 11x
 x 3 x 3 x 3 x 3 
 3x 2 9x 3x x 3 3x
 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3x
 b/ Ta có A , A < 2 tức là 
 x 3
 3x 3x 3x 2 x 3 
 2 2 0 0
x 3 x 3 x 3
 3x 2 x 6 x 6
 0 0(*)
 x 3 x 3
 x 6 0
 Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi 
 x 3 0
 6 x 3
 Vậy với 6 x 3 thì A < 2.
 3x 9 9
 c/ Ta có A 3   x 3 U (9)
 x 3 x 3 x 3
 Mà U (9) 1; 3; 9nên ta có:
 • x – 3 = - 1 x = 2 ( tm đkxđ )
 • x – 3 = 1 x = 4 ( tm đkxđ )
 • x – 3 = - 3 x = 0 ( tm đkxđ )
 • x – 3 = 3 x = 6 ( tm đkxđ )
 • x – 3 = - 9 x = - 6 ( tm đkxđ )
 • x – 3 = 9 x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.
 * Ví dụ 4: Cho biểu thức 
 2x 1 x 1 x 3 
 B . x với x 0 và x 1
 3 
 x 1 x x 1 1 x 
 a/ Rút gọn B;
 b/ Tìm x để B = 3.
 Giải: Đkxđ : x 0 và x 1
 2x 1 x 1 x 3 
 a/ B . x 
 3 
 x 1 x x 1 1 x 
 2x 1 x x 1 x 1 x x 1 
 . x 
 x 1 . x x 1 x 1 
 2x 1 x x
 . 1 2 x x 
 x 1 . x x 1 
 x x 1 2
 . x 1 x 1
 x 1 . x x 1 b/ Ta có B x 1 và B = 3, tức là x 1 3 x 4 x 16 ( t/m đkxđ)
 Vậy với x = 16 thì B = 3.
 * Ví dụ 5: Cho biểu thức
 1 1 2 1 1 x3 y x x y y3
 A . :
 3 3 với x > 0 , y > 0
 x y x y x y x y xy
 a/ Rút gọn A;
 b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
 Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3
 a/ A . :
 3 3
 x y x y x y x y xy
 x y 2 x y x y x xy y xy x y 
 . :
 xy x y xy xy x y 
 2 x y x y x y 
 :
 xy xy xy x y 
 2
 x y xy x y
 . .
 xy x y xy
 2
 b/ Ta có x y 0 x y 2 xy 0
 x y 2 xy .
 x y 2 xy 2 16
 Do đó A 1 ( vì xy = 16 )
 xy xy 16
 x y
 Vậy min A = 1 khi x y 4.
 xy 16
 *MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2
 (Đây là dạng toán cơ bản và có tính tổng hợp cao)
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không nếu 
bài toán chưa cho) Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn 
thức)
 + Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
 + Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán. 
 + Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình.
 + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết 
luận.
 II. Bài tập:
 1 3 x2 1 
 Bài1: Cho biểu thức A : 
 2 2 
 3 x 3x 27 3x x 3 
 1) Rút gọn A
 2) Tìm x để A < –1
 x 1 x x x x 
 Bài 2: Cho biểu thức: A = 
 2 2 x x 1 x 1 
 a) Rút gọn biểu thức A;
 b) Tìm giá trị của x khi A > - 6.
 x 2 1 10 x 
Bài 3: Cho biểu thức B = : x 2 
 x 4 2 x x 2 x 2 
 a) Rút gọn biểu thức B;
 b) Tìm giá trị của x khi A > 0.
Bài 4: Rót gọn biểu thức :
 x 2 x2 4 x 2 x2 4
 a) D = ;
 x 2 x2 4 x 2 x2 4
 x x x x 
 b) P = 1 1 ;
 x 1 x 1 
 1 x 1
 c) Q = : ;
 x2 x x x x x
 x 1 2 x 2
 d) H =
 x 2 1 Lê Thị Thu Hương 12 Trường THCS Tân Dương