Bài tập ôn tập môn Hình học Lớp 9 Nâng cao - Chương I+II (Có đáp án)

 Baøi 8: Cho ABC coù 3 goùc nhoïn, caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc goùc Aµ,Bµ,Cµ theo thöù töï laø a, 
 a b c
b, c. Chöùng minh: = = .
 sin A sin B sin C
Baøi 9: Tam giaùc ABC coù AB = 3 cm, AC = 6 cm, Aµ= 1200. Keû ñöôøng phaân giaùc AD cuûa 
 Aµ. Tính ñoä daøi cuûa AD.
Baøi 10: Cho hình bình haønh ABCD ( A·CD < 900 ).
 a) Chöùng minh : AD2 = CD2 + CA2 - 2CD.CA.cos A·CD .
 1
 b) Neáu CD = 6 cm, CA = 4 cm, cos A·CD = thì töù giaùc ABCD laø hình gì?. Tính dieän 
 3
 tích cuûa töù giaùc ñoù.
Baøi 11: Cho tam giaùc caân ABC ( AB = AC; Aµ< 900 ). Keû BK  AC.
 a) Chöùng minh : Aµ= 2.K·BC .
 A A
 b) Chöùng minh : sin A = 2.sin .cos .
 2 2
 2
 c) Bieát sin K·BC = , tính sinA.
 3
Baøi 12: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( Bµ= 900 ). Laáy ñieåm M treân caïnh AC. Keû AH  BM, 
CK  BM.
 a) Chöùng minh : CK = BH.tgB·AC .
 MC BH.tg2 B·AC
 b) Chöùng minh : = .
 MA BK
Baøi 13: Cho ABC coù Aµ= 600. Keû BH  AC vaø CK  AB.
 a) Chöùng minh : KH = BC.cosA.
 b) Trung ñieåm cuûa BC laø M. Chöùng minh MKH laø tam giaùc ñeàu.
Baøi 14: Cho tam giaùc ABC coù BC = a. A·CB = 450 . Veà phía ngoaøi cuûa ABC, veõ caùc hình 
vuoâng ABDE vaø ACFG. Giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo cuûa hai hình vuoâng laø Q vaø N. Trung 
ñieåm cuûa BC vaø EG laø M vaø P.
 a) Chöùng minh AEC = ABG.
 b) Chöùng minh töù giaùc MNPQ laø hình vuoâng.
 c) Bieát B·GC = a . Tính dieän tích hình vuoâng MNPQ theo a vaø a .
Baøi 15: Cho hình chöõ nhaät MNPQ coù 4 ñænh naèm treân 4 caïnh cuûa hình thoi ABCD ( M 
AB, N BC, P CD, Q DA ). Caùc caïnh hình chöõ nhaät song song vôùi caùc ñöôøng cheùo 
cuûa hình thoi. Bieát AB = 7 cm. tgB·AC = 0,75 .
 a) Tính dieän tích hình thoi ABCD.
 b) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân caïnh AB sao cho dieän tích hình chöõ nhaät MNPQ 
 ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tính giaù trò lôùn nhaát ñoù.
Baøi 16: Cho hình bình haønh ABCD coù ñ.cheùo AC lôùn hôn ñ.cheùo BD. Keû CH  AD vaø 
CK  AB.
 a) Chöùng minh CKH ~ BCA.
 b) Chöùng minh HK = AC.sin B·AD .
 c) Tính dieän tích töù giaùc AKCH bieát B·AD = 600 , AB = 4 cm vaø AD = 5 cm.
Baøi 17: Cho ABC ( Aµ= 900 ). Töø trung ñieåm E cuûa caïnh AC keû EF  BC. Noái AF vaø 
BE. Baøi 3: Cho ABC, caùc goùc ñeàu nhoïn. Veõ ñöôøng troøn taám ñöôøng kính AB, veõ ñöôøng troøn 
taâm O ñöôøng kính AC. Ñöôøng thaúng OS caét ñöôøng troøn (S) taïi D vaø E, caét ñöôøng troøn (O) 
taïi H vaø K (caùc ñieåm xeáp ñaët theo thöù töï D, H, E, K).
a) Chöùng minh BD, BE laø nhöõng ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc A· BC ; CK, CH laø nhöõng ñöôøng 
phaân giaùc cuûa goùc A· CB .
b) Chöùng minh BDAE, AHCK laø nhöõng hình chöõ nhaät.
Baøi 4: Cho ñöôøng troøn (O) döôøng kính AB. Veõ baùn kính OC vuoâng goùc vôùi AB taïi O. Laáy 
ñieåm M treân cung AC. Haï MH  OA. Treân baùn kính OM laáy ñieåm P sao cho OP = MH.
a) Tìm quó tích caùc ñieåm P khi M chaïy treân cung AC..
b) Tìm quó tích caùc ñieåm P laáy treân baùn kính OM sao cho OP baèng khoaûng caùch töø M ñeán 
AB khi M chaïy khaép ñöôøng troøn (O).
 2. Tính chất đối xứng của đường tròn 
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn baèng nhau (O ; R) vaø (O’; R) vaø hai daây AB, CD baèng nhau 
theo thöù töï thuoäc hai ñöôøng troøn aáy sao cho B vaø C naèm giöõa A vaø D vaø AB < 2R. 
a) Chöùng minh raèng AD // OO’.
b) Chöùng minh raèng AC = OO’ = BD.
 c) Goïi I laø trung ñieåm cuûa AD, chöùng toû raèng ñieåm I naèm treân moät ñöôøng coá ñònh khi caùc 
daây AB, CD thay ñoåi vò trí sao cho AB, CD luoân luoân baèng nhau vaø B, C luoân naèm giöõa 
A, D.
Baøi 7: Cho goùc x· Oy 600 . Laáy ñieåm I coá ñònh treân tia phaân giaùc Ot cuûa goùc xOy laøm taâm 
veõ ñöôøng troøn sao cho noù caét Ox taïi A, Oy taïi B (A vaø B khoâng ñoái xöùng nhau qua Ot). 
Haï ID  Ox, IE  Oy.
a) Chöùng minh DA = EB.
b) Goïi T laø taâm ñöôøng troøn qua A, I, B. Chöùng minh TAI, TBI laø caùc tam giaùc ñeàu. 
Xaùc ñònh vò trí cuûa T moät caùch nhanh nhaát.
c) Tìm quó tích ñieåm T khi ñöôøng troøn taâm I coù ñoä lôùn baùn kính thay ñoåi (nhöng vaãn caét 
Ox, Oy).
d) Tìm quó tích ñieåm H, tröïc taâm cuûa AIB (theo ñieàu kieän caâu c).
Baøi 8: Cho tam giaùc vuoâng caân ABC (AB = AC) ñöôøng cao AH. Treân ñoaïn thaúng HC laáy 
ñieåm K roài döïng hình chöõ nhaät AHKO. Laáy O laøm taâm, veõ ñöôøng troøn baùn kính OK, 
ñöôøng troøn naøy caét caïnh AB taïi D, caét caïnh AC taïi E. Goïi F laø giao ñieåm thöù hai cuûa 
ñöôøng troøn (O) vôùi ñöôøng thaúng AB. Chöùng minh:
a) AEF laø tam giaùc caân.
b) DO  OE.
c) D, A, O, E naèm treân cuøng moät ñöôøng troøn.
 3. V ị trí t ương đối của đường th ẳng và đường tròn – 
 Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’). Moät tieáp tuyeán chung ngoaøi MM’, moät tieáp tuyeán 
chung trong NN’ (M, N naèm treân (O) ; M’, N’ naèm treân (O’)). Caùc ñöôøng thaúng MM’ , 4. V ậ trí tương đậi cậa hai đưậng tròn
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn (O ; 4 cm) vaø (O’ ; 3 cm) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A vaø B. 
bieát OO’ = 5 cm. Töø B veõ 2 ñöôøng kính BOC vaø BO’D.
 a) Chöùng minh 3 ñieåm C, A, D thaúng haøng;
 b) Chöùng minh tam giaùc OBO’ laø tam giaùc vuoâng;
c) Tính dieän tích caùc tam giaùc OBO’ vaø CBD;
d) Tính ñoä daøi caùc ñoaïn AB, CA, AD.
Baøi 2: Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc ngoaøi taïi ñieåm A. Ñöôøng thaúng OO’ caét hai 
ñöôøng troøn (O) vaø (O’) laàn löôït ôû B vaø C (khaùc ñieåm A). DE laø moät tieáp tuyeán chung 
ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn, D (O) ; E (O’). Goïi M laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng 
BD vaø CE. Chöùng minh raèng: a) D· ME 900 ;
 b) MA laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’); c) MD.MB = ME.MC.
Baøi 4: Cho moät ñöôøng troøn (O ; R), moät ñöôøng troøn (O1 ; r1) tieáp xuùc trong vôùi (O ; R) vaø 
moät ñöôøng troøn (O2 ; r2) vöøa tieáp xuùc trong vôùi (O ; R) vöøa tieáp xuùc ngoaøi vôùi (O1 ; r1).
 a) Tính chu vi tam giaùc OO1O2 theo R.
 b) Döïng hai ñöôøng troøn (O1 ; r1) vaø (O2 ; r2) bieát R = 3 cm ; r1 = 1 cm.
Baøi 5: Cho ñöôøng troøn (O ; R), ñöôøng thaúng d vaø ñieåm A naèm treân d. Döïng ñöôøng troøn 
tieáp xuùc vôùi (O ; R) ñoàng thôøi tieáp xuùc vôùi d taïi A.
Baøi 9: Cho hình bình haønh ABCD (AB > AD). Laáy A laøm taâm veõ ñöôøng troøn baùn kính 
AD, noù caét AB taïi E. Laáy B laøm taâm veõ ñöôøng troøn baùn kính BE, noù caét tieáp ñöôøng thaúng 
DE taïi F.
a) Chöùng minh hai ñöôøng troøn (A ; AD) vaø (B ; BE) tieáp xuùc nhau.
b) Chöùng minh F, B, C thaúng haøng.
Baøi 11: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) baùn kính laàn löôït laø 3R vaø R tieáp xuùc ngoaøi nhau 
taïi A. Ñöôøng thaúng d1 qua A caét (O) taïi B, caét (O’) taïi B’. Ñöôøng thaúng d2 vuoâng goùc vôùi 
d1 taïi A caét (O) taïi C, caét (O’) taïi C’.
a) Chöùng minh BC’, CB’ vaø OO’ ñoàng qui taïi moät ñieåm M coá ñònh.
b) Chöùng minh caùc tieáp tuyeán chung ngoaøi PP’ vaø TT’ caét nhau taïi M.
c) Goïi I laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø A xuoáng BC’. Tìm quó tích ñieåm I khi d1 vaø d2 
thay ñoåi vò trí (vaãn qua A vaø vuoâng goùc vôùi nhau).
Baøi 12: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc nhau taïi A. Goùc vuoâng xAy quay xung 
quanh ñieåm A, Ax caét (O) taïi B, Ay caét (O’) taïi C.
a) Chöùng minh OB // O’C.
b) Goïi C’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O’. Chöùng minh B, A, C’ thaúng haøng.
c) Qua O veõ d  AB, noù caét BC taïi M. Tìm quó tích ñieåm M khi caùc daây AB, AC thay ñoåi 
vò trí nhöng vaãn vuoâng goùc vôùi nhau.
 5. Ôn tập chương II
Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tuyÕn chung 
ngoµi cña (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iÓm. TiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®trßn t¹i A c¾t 
BC t¹i M.
 a) Chøng minh r»ng A, B, C thuéc ®­êng trßn ( M ; BC/2 ) PHAÀN ÑAÛO: Laáy T’ thuoäc ñoaïn T1T2 veõ ñöôøng troøn baùn kính TI, noù caét Ox taïi A’, caét 
Oy taïi B, ta phaûi chöùng minh ñöôøng troøn (I ; IA’) qua B. (Chöùng minh IDA’ = IEB’ 
 IA’ = IB’).
KEÁT LUAÄN: Quó tích T laø ñoaïn thaúng T1T2, khoâng keå T1, T2.
 d) AIBT laø hình thoi neân tröïc taâm H cuûa AIB naèm treân ñöôøng thaúng TI, Bz  AI, 
ta chöùng minh ñöôïc Bz  BT.
Ta chöùng minh ñöôïc H thuoäc (I) vaø H ñoái xöùng vôùi T qua I.
Quó tích caùc tröïc taâm H laø ñoaïn thaúng H1H2 ñoái xöùng cuûa T1T2 qua I khoâng keå H1, H2.
Baøi 3 F
 A O
 D
 I
 E
 B
 H K C
a) Ta c/m ñöôïc AO laø phaân giaùc cuûa goùc FAE neân AO laø truïc ñoái xöùng
cuûa goùc FAE. AO laø ñöôøng thaúng chöùa ñöôøng kính cuûa (O) neân AO laø 
truïc ñoái xöùng cuûa ñöôøng troøn (O). F laø giao ñieåm cuûa AB vôùi (O).
Hình ñoái xöùng cuûa F laø giao ñieåm cuûa AC vôùi (O), ñoù chính laø ñieåm E.
F vaø E ñoái xöùng nhau qua AO. Vaäy AEF laø tam giaùc caân.
b) Ta c/m ñöôïc: D· OI 2D· FO , E· OI 2E· FO .
Suy ra D· OE 2D· FE 900 hay DO  OE.
c) Laáy I laø trung ñieåm cuûa DE, ta coù ID = IA = IE = IO. Vaäy D, A, O, E naèm treân moät 
ñöôøng troøn taâm I baùn kính DE/2.
Baøi 4: A B
 D
 D'
 C O
 B'
 Ta coù C vaø D ñoái xöùng qua O.
Laáy B’ ñoái xöùng cuûa A qua O thì B’ coá ñònh. CA coù hình ñoái xöùng qua O
Laø DB’ neân CA = DB’, do ñoù DB = DB’.
Suy ra D naèm treân trung tröïc d cuûa BB’.
§3. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn – Tieáp tuyeán
 O
Baøi 9: 
a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
 F
 · 0
 OIB coù IOB 30 ; ta tính ñöôïc OB R 3 ; do ñoù: E M
 OE + EF + OF = 2R 3 . A
 B
 Giaù trò 2R 3 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.
 I
 1 1
b) Ta tính ñöôïc A· IB 1200 ; E· IM A· IM ; M· IF M· IB .
 2 2
 1
Suy ra E· IF A· IB hay E· IF 600 . Vaäy E· IF coù soá ño khoâng ñoåi khi M chaïy treân cung nhoû 
 2
AB. C
Baøi 10: 30
 30
 A 30 D
 O B µ µ 0
 c) Do OHC = IEH neân H E 90 , töùc laø HE  IE. Vaäy HE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng B'
 troøn taâm I x
 Baøi 14: a) Töï giaûi.
 D
 b) CA = CM (hai tieáp tuyeán caét nhau taïi C) A'
 M
 Laáy I laø trung ñieåm cuûa AM, CI laø ñöôøng trung bình cuûa AA’M. C
 Vaäy CA = CA’. Töông töï DB = DB’. I
 K B
 AC DB A O
 c) Ta coù AA’ // BB’. Laïi coù 1.Vaäy B’A’, DC, AB ñoàng qui.
 CA' DB'
 B
 Baøi 15: a) CO  AE taïi P, BO  AD taïi Q.
 Goïi I laø giao ñieåm cuûa OP vaø AQ.
 Hai tam giaùc PAI vaø QOI coù: P Qµ 900 ; P· IA Q· IO
 Suy ra B· OC D· AE . C E
 A Q D
  µ 0  µ 0 I
 b) Töù giaùc AQOP’ coù P Q 90 hay P Q 180 C
 P' O
 maø toång caùc goùc trong töù giaùc loài laø 3600 , suy ra B· OC' D· AE' 1800 E'
 §4. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn
 Baøi 8: C D
 A
 a) AOBO’ laø hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) neân AB vaø OO’
 caét nhau taïi I, trung ñieåm chung cuûa AB vaø OO’. D’ ñoái xöùng cuûa O O'
 I
 D qua O neân D’ thuoäc O’.
 B
 OCO’D’ laø hình bình haønh (OC // O’D’ ; OC = O’D’). D'
 AB vaø CD’ caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn. Nhöng trung ñieåm cuûa AB laø I, neân 
 CD’ ñi qua I. Vaäy AB, OO’, CD’ caét nhau taïi I, trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn thaúng.
 b) Töù giaùc OCDO’ laø hình bình haønh neân OO’ // CD. Vì BA  OO’ neân BA  CD.
 Töù giaùc ACBD’ coù IA = IB, IC = ID neân ACBD’ laø hình bình haønh do ñoù AD’ // CB.
 Vì DA  AD’ (DD’ laø ñöôøng kính) suy ra DA  CB. Vaäy A laø tröïc taâm cuûa BCD.
 Baøi 9: a) B, A, E thaúng haøng, suy ra hai ñöôøng troøn (A ; DA), (B ; BE) 
 tieáp xuùc nhau taïi E.
 b) Ta c/m ñöôïc A· DF A· ED F· EB D· FB F
 A· DF D· FB BF // AD (*)
 A E
 Vì ABCD laø hình bình haønh BC // AD (**) B
Töø (*) vaø (**) ta suy ra C, B, F thaúng haøng
 I'
Baøi 10: D C
Taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi (O) taïi A naèm treân ñöôøng thaúng OA O
 Giaû söû ñöôøng troøn (I) thoûa maõn yeâu caàu ñeà baøi, tieáp xuùc vôùi A
 D taïi B. Taïi A veõ tieáp tuyeán chung noù caét d taïi P, thì PB = PA. I
 Töø ñoù ta suy ra caùch döïng
 B P B'
Baøi 11:
 d1
 · · 0 B P
a) A'BA BAC 90 A’B // AC I'
 P'
 O· A'B O· 'AC' I
Ta coù C'
 A' M
 O· BA' O· 'C'A (O· A'B) O A O'
 T'
 B'
 C I''
 T
 d2