Đề thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

 UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017-2018
 MÔN : TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) LỚP : 8
 Thời gian : 150 phút 
 HƯỚNG DẪN CHẤM
 Câu 1:( 5 điểm)
 a) Ta có 2003 = 3.667 + 2 => 32003 = (33)667. 32 (0,5đ)
 Mà 33 ≡ 1 (mod 13) (0,5đ)
 => (33)667 ≡ 1667 (mod 13) (0,5đ)
 (33)667. 32 ≡ 1.32 (mod 13) 
 (33)667. 32 ≡ 9 (mod 13) (0,5đ)
 32003 ≡ 9 (mod 13). (0,25đ)
 Vậy 32003 chia cho 13 dư 9 . (0,25đ)
 b) Phân tích P = (n2 + 3n + 1)2 - 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) (0,5đ)
 = n(n+1)(n+2)(n+3) (0,5đ)
 Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 P3 (0,5đ)
 Tích hai số chẳn liên tiếp chia hết cho 8 P8 (0,5đ)
 Mà (3,8)=1 nên P chia hết cho 3.8 (0,25đ)
 Vậy (n2 + 3n + 1)2 - 1  24 (0,25đ)
 Câu 2:( 5 điểm)
 a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
 a2 b2 2 a2b2 2ab 2 (vì ab = 1) (0,5đ)
 4 4 4
 A (a b 1)(a2 b2 ) 2(a b 1) 2 (a b ) (a b) (0,5đ)
 a b a b a b
 Cũng theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a + b và 4 .
 a b
 4 4
 Ta có: (a + b) + 2 (a b). 4 (0,5đ)
 a b a b
 Mặt khác: a b 2 ab 2 (0,25đ) = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) (0,5đ) 
 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) (0,5đ) 
 b) Ta có:
 4a2 + b2 = 5ab 4a2 – 4ab + b2 – ab = 0 (0,25đ) 
 4a(a – b) + b(b – a) = (4a - b)(a -b) = 0 (0,5đ) 
 b = 4a hoặc b = a (0,5đ) 
 Mà 2a b 0 4a > 2b > b nên a = b (0,5đ) 
 a 2 1
 - Ta có : P = (0,5đ) 
 4a 2 a 2 3
 1
 Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 thì P (0,25đ) 
 3
Câu 4:( 5 điểm)
 A E B
 F
 H M
 N
 C
 D G
 Hình vẽ (0,25đ) 
 a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông
 1
 Tứ giác EFGH có EF//GH và EF = GH (cùng //AC và cùng = AC )
 2
 nên là hình bình hành. (0,25đ) 
 Có EH = EF nên là hình thoi (0,25đ) 
 Chứng minh có 1 góc vuông (0,25đ) 
 Tứ giác EFGH là hình vuông (0,25đ) 
 b) Chứng minh DF  CE và MAD cân.
 VBEC VCFD(c.g.c) E· CB F· DC (0,25đ) 
 mà VCDF vuông tại C
 C· DF D· FC 900 D· FC E· CB 900 VCMF vuông tại M (0,5đ) 
 CE  DF. (0,25đ)