Đề thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

 UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017
 MÔN : TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) LỚP : 8
 Thời gian : 150 phút 
 HƯỚNG DẪN CHẤM
 Câu 1:( 5 điểm)
 a) Ta có 25 ≡ 1 (mod 31) (0,5đ)
 Mà 2002 = 5.400 + 2 nên 22002 = (25)400 .22 (0,75đ)
 Vì 25 ≡ 1 (mod 31) => (25)400 ≡ 1400 (mod 31) (0,5đ)
 => (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31) (0,5đ)
 => 22002 ≡ 4 (mod 31) (0,5đ)
 Vậy 22002 - 4 chia hết cho 31 (0,25đ)
 b) Phân tích 2a+1 = (a-1) + (a+2) (0,5đ)
 a(a+1)(2a+1) = a(a+1)[(a-1)+(a+2)] (0,5đ)
 = a(a+1)(a-1) + a(a+1)(a+2) (0,5đ)
 a(a+1)(a-1) và a(a+1)(a+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 
 3. Mà (2,3)=1 nên chia hết cho 6. (0,25đ)
 Vậy a(a+1)(2a+1)  6 (0,25đ)
 Câu 2:( 5 điểm)
 a) Ta có: x + y = 2 y = 2 – x (0,25đ)
 Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
 = x2 + 4 – 4x + x2 (0,5đ)
 = 2x2 – 4x + 4
 = 2( x2 – 2x) + 4 (0,5đ)
 = 2(x – 1)2 + 2 2 (0,5đ)
 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. (0,25đ)
 Câu 4:( 5 điểm)
 a) Chứng minh OM=ON
 A B Áp dụng hệ quả định lý Ta-Let trong 
 ABD và ABC
 O N
 M OM OD ON OC
 ; (0,5đ) 
 AB BD AB AC
 OD OC AB
 Mà (cùng = ) (0,5đ) 
 BD AC CD
 D C
 OM ON
 OM = ON (0,5đ) 
 AB AB
 1 1 2
 b) Chứng minh rằng 
 AB CD MN
 OM DM
 Xét ABD có (1) (0,25đ) 
 AB AD
 OM AM
 xét ADC có (2) (0,25đ) 
 CD AD
 Cộng theo vế (1) và (2) : OM + OM = DM + AM (0,25đ) 
 AB CD AD AD
 1 1 DM AM AD
 OM.( ) 1 (0,5đ) 
 AB CD AD AD
 1 1
 Do OM=ON nên tương tự ON. ( ) 1 (0,25đ) 
 AB CD
 1 1 1 1 2
 từ đó có (OM + ON). ( ) 2 (0,5đ) 
 AB CD AB CD MN
 2 2 
 c) Biết S AOB= 2016 (đơn vị diện tích); S COD= 2017 (đơn vị diện tích). Tính 
SAOD.
 Ta có:
 S OB S OB S S
 AOB , BOC AOB BOC 
 S AOD OD SCOD OD S AOD SCOD
 SAOB .SCOD SBOC .SAOD (0,5đ) 
 Chứng minh được S AOD S BOC (0,5đ) 
 ( Vì SADC = SBDC. Mà SADC = SAOD + SDOC , SBDC = SBOC + SDOC)
 2
 SAOB .SCOD (SAOD )
 2 2 2
 Thay số vào: 2016 .2017 = (SAOD) SAOD = 2016.2017 
 = 4066272 (đvdt) (0,5đ)
 ( Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
 -----Hết-----